Назад   Задать вопрос
Геометрия
ВУЗ
5 отметок
+ В закладки
08.06.2014, 16:13

В основании пирамиды - квадрат. Две боковые грани перпендикулярны основанию, а две другие наклонены к нему под углом 45 градусов. Среднее по величине ребро равно 2. Найти объём пирамиды.

Комментарии (0)

Решить задание

Добавить ответ, могут только Зарегистрированные или Авторизированные пользователи.

Ответы и решения


08.06.2014, 17:44

Пусть PABCD – четырёхугольная пирамида, основание которой – квадрат ABCD . Докажем, что две противоположные боковые грани такой пирамиды не могут быть перпендикулярными плоскости основания. Предположим, что плоскости граней PAB иPCD перпендикулярны плоскости квадрата ABCD . Тогда каждая из них проходит через прямую, перпендикулярную плоскости основания. Поскольку две прямые, перпендикулярные одной плоскости, параллельны, получим, что две пересекающиеся прямые одной плоскости (указанный перпендикуляр и прямая AB ) соответственно параллельны двум пересекающимся прямым второй плоскости (второй из указанных перпендикуляров и прямая CD ). Значит, эти плоскости параллельны, что противоречит условию (плоскости боковых граней имеют общую точку ). Аналогично докажем, что плоскости боковых граней PAD и PBC не могут быть перпендикулярными к плоскости основания пирамиды. Таким образом, плоскости основания перпендикулярны две соседние боковые грани. Пусть это грани PAB и PAD . Тогда прямая AP их пересечения перпендикулярна плоскости основания, т.е. AP – высота пирамиды PABCD . Тогда AB иAD – ортогональные проекции наклонных PB и PD на плоскость основания. Так как AB  BC и AD  CD , то по теореме о трёх перпендикулярах PB  BC и PD  CD . Значит,ABP и ADP – линейные углы двугранных углов, образованных плоскостями боковых граней PBC и PDC с плоскостью основания. По условию задачи 

 ABP =  ADP = 45o.


Поскольку PB и PD – гипотенузы равных прямоугольных треугольников APB и APD ,PD = PB > AP , а т.к. PC – гипотенуза прямоугольного треугольника BPC , то PB < CP . Значит, PB и PD – средние по величине боковые рёбра данной пирамиды. По условию задачи PB = PD = l . Из прямоугольного треугольника APB находим, что 

AB = BP cos 45o = , AP = AB = .


Пусть – объём пирамиды, – её полная поверхность. Тогда 

V = SABCD· AP = AB2· AP =  · ·  = ,


 

S = SABCD + 2SΔ APB + 2SΔ BPC =


 

= AB2 + AB· AP + BC· PB =  +  +  = l2(1 + ).

Ответ

 l2(1 + ) 

Оценка: 3.0 (голосов: 4)

Комментарии (0)