Назад   Задать вопрос
Геометрия
11 класс
5 отметок
+ В закладки
11.09.2014, 22:40

Через вершину С правильного треугольника АВС, в котором АС=16 см, проведён перпендикуляр РС к плоскости треугольника.Найти угол между плоскостями АВС и АРВ, если РВ=20 см.

Комментарии (0)

Решить задание

Добавить ответ, могут только Зарегистрированные или Авторизированные пользователи.

Ответы и решения


03.11.2014, 19:48
 
Проведём высоту треугольника ABC из вершины С к основанию и обозначим точку на основании М

Высота равностороннего треугольника при известной стороне 16 см будет составлять:
h= \frac{a  \sqrt{3} }{2}= \frac{16 \sqrt{3} }{2} =8 \sqrt{3} см.

Высота первого треугольника h у нас будет образовывать сторону второго треугольника CPM.

Угол с второго треугольника СРМ является прямым, поскольку через вершину С первого треугольника проведён перпендикуляр к плоскости треугольника АВС.

Находим строну РМ треугольника СРМ из соотношения:

PM^{2}=CM^{2}^+CP^{2}  \\ PM= \sqrt{CM^{2}^+CP^{2}} = \sqrt{ (8 \sqrt{3})^{2}+20^{2}  } = \\ = \sqrt{192+400} =24.331

Причём:
CМ = h = 8√3 см,
СР = 20 см.
PM=24.331 см
Угол с = 90°

Для решения задачи по этим данным необходимо найти величину угла < PMC = m. (m малое)

Из теоремы синусов:

 \frac{PC}{Sin m} = \frac{PM}{Sin m}

Выводим формулу относительно Sin m:

Sin m =  \frac{PC*Sinc}{PM}

Поскольку угол с является прямым (90°) и значение его синуса равно 1 (единице), то формула для нахождения величины угла m упрощается:

Sinm=  \frac{PC}{PM}

Подставляем значения в выведенную формулу и находим значения синуса угла m:

Sin m =  \frac{20}{24.331} = 0.822

Находим величину угла m:

m =arcsin 0.822=55.286

Ответ: Угол между плоскостями АВС и АРВ составляет = 55.286°

Оценка: 3.3 (голосов: 4)

Комментарии (0)