Вершины равностороннего треугольника со стороной 5√3 (пять корней из трёх) лежат на поверхности шара, а расстояние от центра шара до плоскости треугольника равна 12 см, найдите объём шара.

Дан треугольник АВС. Центр описанной около треугольника окружности О лежит на пересечении серединных перпендикуляров АА1, ВВ1 и СС1.

Рассмотрим треугольник АОВ1:  угол ОАВ1=60/2=30.

Тогда ОВ1 – катет, лежащий против угла в 30 градусов, значит АО=2ОВ1. Примем ОВ1 за х. АВ1=АС/2=5 корня из 3/2. Тогда:

АО²-OB1²=AB1²

(2х)²-х²=(5 корня из 3/2)².   Отсюда   х=2,5=ОВ1;   АО=2*2,5=5=r

Пусть О1 – центр шара. Рассмотрим треугольник ОАО1:

О1А²=AO²+OO1²=5²+12²=25+144=169; О1А=13 см

S=4*пи*R²=4*пи*О1А²=4*3,14*13²=676 пи см²=2122,64 см².

 

рассмотрим треуг АВС он равносторонний ВД=√(25*3-25*3/4)=5√3*√3/2=15/2
О1В=2/3*ВД=2/3*15/2=5
ОВ радиус шара по условию
ОВ=√((25+144)=13
Vш=4/3πR³=4/3*13³π=8788π/3