Назад   Задать вопрос
Реферат
5 класс
5 отметок
+ В закладки
30.08.2013, 11:23

Реферат по математике на тему дроби

Комментарии (1)

aliieva02@mail.ru Из истории десятичных и обыкновенных дробей В Древнем Китае уже пользовались десятичной системой мер, обозначали дробь словами, используя меры длины чи: цуни, доли, порядковые, шерстинки, тончайшие, паутинки. Дробь вида 2,135436 выглядела так: 2 чи, 1 цунь, 3 доли, 5 порядковых, 4 шерстинки, 3 тончайших, 6 паутинок. Так записывались дроби на протяжении двух веков, а в V веке китайский ученый Цзю-Чун-Чжи принял за единицу не чи, а чжан = 10 чи, тогда эта дробь выглядела так: 2 чжана, 1 чи, 3 цуня, 5 долей, 4 порядковых, 3 шерстинки, 6 тончайших, 0 паутинок. Предшественниками десятичных дробей являлись шестидесятеричные дроби древних вавилонян. Некоторые элементы десятичной дроби встречаются в трудах многих ученых Европы в 12, 13, 14 веках. Десятичную дробь с помощью цифр и определенных знаков попытался записать арабский математик ал-Уклисиди в X веке. Свои мысли по этому поводу он выразил в «Книге разделов об индийской арифметике». В XV веке, в Узбекистане, вблизи города Самарканда жил математик и астроном Джемшид Гиясэддин ал-Каши (дата рождения неизвестна). Он наблюдал за движением звезд, планет и Солнца, в этой работе ему необходимы были десятичные дроби. Ал-Каши написал книгу «Ключ к арифметике» (была издана в 1424 году), в которой он показал запись дроби в одну строку числами в десятичной системе и дал правила действия с ними. Ученый пользовался несколькими способами написания дроби: то он применял вертикальную черту, то чернила черного и красного цветов. Но этот труд до европейских ученых своевременно не дошел. Примерно в это же время математики Европы также пытались найти удобную запись десятичной дроби. В книге «Математический канон» французского математика Ф. Виета (1540-1603) десятичная дробь записана так 2 135436 — дробная часть и подчеркивалась и записывалась выше строки целой части числа. В 1585 г., независимо от ал-Каши, фламандский ученый Симон Стевин (1548-1620) сделал важное открытие, о чем написал в своей книге «Десятая» (на французском языке «De Thiende, La Disme»). Эта маленькая работа (всего 7 страниц) содержала объяснение записи и правил действий с десятичными дробями. Он писал цифры дробного числа в одну строку с цифрами целого числа, при этом нумеруя их. Например, число 12,761 записывалось так: 1207À6Á1Â12 или число 0,3752 записывалось так: 3-7-5-2-. Именно Стевина и считают изобретателем десятичных дробей. Запятая в записи дробей впервые встречается в 1592г., а в 1617г. шотландский математик Джон Непер предложил отделять десятичные знаки от целого числа либо запятой, либо точкой. Современную запись, т.е. отделение целой части запятой, предложил Кеплер (1571) — (1630 гг.). В странах, где говорят по-английски (Англия, США, Канада и др.), и сейчас вместо запятой пишут точку, например: 2.3 и читают: два точка три. Действия над десятичными дробями 1. Сложение (вычитание) десятичных дробей При сложении (вычитании) десятичных дробей пользуются следующим правилом: а) уравнивают количество знаков после запятой в обеих дробях (с помощью нулей); б) записывают дроби друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой; в) выполняют действие, не обращая внимания на запятую; г) подставляют в результате запятую под запятыми в данных дробях Пример : Сложить 5,607 и 4,1 1. Уравниваем количество знаков после запятой в обеих дробях: 5,607 и 4,100 2. Записываем дроби друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой: + 5,607 4,100 3,4. Выполняем действие, не обращая внимания на запятую: 9,707 2. Умножение десятичных дробей 2.1. Умножение десятичной дроби на натуральное число При умножении десятичных дробей на натуральное число используют правило а) умножают дробь на это число, не обращая внимания на запятую; б) в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их отделено в данной дроби Пример : Умножить 8,607 на 5 1. Умножаем дробь на число, не обращая внимания на запятую: х 8,607 5 43,035 . 2. В полученном произведении отделяем 3 знака справа: 43,035 2.2. Умножение десятичных дробей а) выполняют умножение, не обращая внимания на запятые; б) отделяют запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе Пример : Умножить 1,25 на 2,04 1. Записываем дроби друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой: х 1,25 2,04 + 500 250 . 2,5500 . 2. В полученном произведении отделяем 4 знака справа: 2,5500 3. Деление десятичных дробей 3.1. Деление десятичной дроби на натуральное число При делении десятичной дроби на натуральное число запятая ставится в частном, когда заканчивают деление целой части. Если целая часть меньше делителя, то частное начинается с нуля целых Пример : Разделить 0,644 на 92 - 0,644 92 0 0,007 - 06 - 64 - 644 644 3.2. Деление десятичной дроби на десятичную дробь а) в делимом перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе; б) после этого выполнить деление на натуральное число Пример : Разделить 2,808 на 0,12 1. Переносим в числе 2,808 запятую в право на 2 знака, так как у нас в числе 0,12 два знака после запятой, и наша задача сводится к делению 280,8 на 12. 280,8 12 24 23,4 40 36 48 48 Получаем 280,8: 12 = 23,4. Литература 1. Депман И.Я. История арифметики. М.: Просвещение, 1965. 415 с. 2. Свечников А.А. Путешествие в историю математики или Как люди учились считать: Книга для тех, кто учит и учится. М.: Педагогика-Пресс, 1995. 168 с.

06.09.2016, 22:00

Ответы и решения


30.08.2013, 11:35

 

Дробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способуДробь в математике — число, состоящее из одной или нескольких частей (долей) единицы. Дроби являются частью поля рациональных чисел. По способу записи дроби делятся на 2 формата: обыкновенные и десятичные.

1. Виды дробей

1.1. Обыкновенные дроби

Наглядное представление дроби

Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде или где . Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.

1.1.1. Обозначения обыкновенных дробей

Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:

½

1/2 или 1/2(наклонная черта называется «солидус»)

выключная формула: (горизонтальная черта называется Винкулиум (англ.))

строчная формула:

1.1.2. Правильные и неправильные дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной, и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.

Например, дроби , и — правильные дроби, в то время как , и — неправильные дроби. Всякое целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.

1.1.3. Смешанные дроби

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.

Например , . В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь.

1.1.4. Высота дроби

Высота обыкновенной дроби — модуль суммы числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа — модуль суммы числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.

Например, высота дроби равна 15 + 6 = 21. Высота же соответствующего рационального числа равна 5 + 2 = 7, так как дробь сокращается на 3.

1.1.5. Составные дроби

Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:

 

1.2. Десятичные дроби

Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом:

В данном случае часть, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Десятичная запись дроби всегда либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.


Чаще всего употребляется десятичная система счисления, хотя возможно применение любых других (в том числе и специфических, таких как фибоначчиева).


 


2. Значение дроби и основное свойство дроби


Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.


записи дроби делятся на 2 формата: обыкновенные и десятичные.

1. Виды дробей

1.1. Обыкновенные дроби

Наглядное представление дроби

Обыкновенная (или простая) дробь — запись рационального числа в виде или . Горизонтальная или косая черта обозначает знак деления, в результате чего получается частное. Делимое называется числителем дроби, а делитель — знаменателем.

1.1.1. Обозначения обыкновенных дробей

Есть несколько видов записи обыкновенных дробей в печатном виде:

½

1/2 или 1 / 2(наклонная черта называется «солидус»)

выключная формула: (горизонтальная черта называется Винкулиум (англ.))

строчная формула:

1.1.2. Правильные и неправильные дроби

Правильной называется дробь, у которой модуль числителя меньше модуля знаменателя. Дробь, не являющаяся правильной, называется неправильной, и представляет рациональное число, по модулю большее или равное единице.

Например, дроби , и — правильные дроби, в то время как , , и — неправильные дроби. Всякое целое число можно представить в виде неправильной обыкновенной дроби со знаменателем 1.

1.1.3. Смешанные дроби

Дробь, записанная в виде целого числа и правильной дроби, называется смешанной дробью и понимается как сумма этого числа и дроби. Любое рациональное число можно записать в виде смешанной дроби. В противоположность смешанной дроби, дробь, содержащая лишь числитель и знаменатель, называется простой.

Например, . В строгой математической литературе такую запись предпочитают не использовать из-за схожести обозначения смешанной дроби с обозначением произведения целого числа на дробь.

1.1.4. Высота дроби

Высота обыкновенной дроби — модуль суммы числителя и знаменателя этой дроби. Высота рационального числа — модуль суммы числителя и знаменателя несократимой обыкновенной дроби, соответствующей этому числу.

Например, высота дроби равна 15 + 6 = 21. Высота же соответствующего рационального числа равна 5 + 2 = 7, так как дробь сокращается на 3.

1.1.5. Составные дроби

Многоэтажной, или составной, дробью называется выражение, содержащее несколько горизонтальных (или реже — наклонных) черт:

 или или

1.2. Десятичные дроби

Десятичной дробью называют позиционную запись дроби. Она выглядит следующим образом:


.

В данном случае часть, которая стоит до позиционной запятой, является целой частью числа (дроби), а стоящая после запятой — дробной частью. Десятичная запись дроби всегда либо имеет конечное число знаков после запятой, либо является периодической дробью.


Чаще всего употребляется десятичная система счисления, хотя возможно применение любых других (в том числе и специфических, таких как фибоначчиева).


 


2. Значение дроби и основное свойство дроби


Дробь является всего лишь записью числа. Одному и тому же числу могут соответствовать разные дроби, как обыкновенные, так и десятичные.

Оценка: 3.7 (голосов: 30)

Комментарии (0)

.., :

21.10.2015, 13:53
Из истории десятичных и обыкновенных дробей

В Древнем Китае уже пользовались десятичной системой мер, обозначали дробь словами, используя меры длины чи: цуни, доли, порядковые, шерстинки, тончайшие, паутинки. Дробь вида 2,135436 выглядела так: 2 чи, 1 цунь, 3 доли, 5 порядковых, 4 шерстинки, 3 тончайших, 6 паутинок. Так записывались дроби на протяжении двух веков, а в V веке китайский ученый Цзю-Чун-Чжи принял за единицу не чи, а чжан = 10 чи, тогда эта дробь выглядела так: 2 чжана, 1 чи, 3 цуня, 5 долей, 4 порядковых, 3 шерстинки, 6 тончайших, 0 паутинок.

Предшественниками десятичных дробей являлись шестидесятеричные дроби древних вавилонян. Некоторые элементы десятичной дроби встречаются в трудах многих ученых Европы в 12, 13, 14 веках.

Десятичную дробь с помощью цифр и определенных знаков попытался записать арабский математик ал-Уклисиди в X веке. Свои мысли по этому поводу он выразил в «Книге разделов об индийской арифметике».

В XV веке, в Узбекистане, вблизи города Самарканда жил математик и астроном Джемшид Гиясэддин ал-Каши (дата рождения неизвестна). Он наблюдал за движением звезд, планет и Солнца, в этой работе ему необходимы были десятичные дроби. Ал-Каши написал книгу «Ключ к арифметике» (была издана в 1424 году), в которой он показал запись дроби в одну строку числами в десятичной системе и дал правила действия с ними. Ученый пользовался несколькими способами написания дроби: то он применял вертикальную черту, то чернила черного и красного цветов. Но этот труд до европейских ученых своевременно не дошел.

Примерно в это же время математики Европы также пытались найти удобную запись десятичной дроби. В книге «Математический канон» французского математика Ф. Виета (1540-1603) десятичная дробь записана так 2 135436 — дробная часть и подчеркивалась и записывалась выше строки целой части числа.

В 1585 г., независимо от ал-Каши, фламандский ученый Симон Стевин (1548-1620) сделал важное открытие, о чем написал в своей книге «Десятая» (на французском языке «De Thiende, La Disme»). Эта маленькая работа (всего 7 страниц) содержала объяснение записи и правил действий с десятичными дробями. Он писал цифры дробного числа в одну строку с цифрами целого числа, при этом нумеруя их. Например, число 12,761 записывалось так:

1207À6Á1Â12

или число 0,3752 записывалось так:

3-7-5-2-.

Именно Стевина и считают изобретателем десятичных дробей.

Запятая в записи дробей впервые встречается в 1592г., а в 1617г. шотландский математик Джон Непер предложил отделять десятичные знаки от целого числа либо запятой, либо точкой.

Современную запись, т.е. отделение целой части запятой, предложил Кеплер (1571) — (1630 гг.).

В странах, где говорят по-английски (Англия, США, Канада и др.), и сейчас вместо запятой пишут точку, например: 2.3 и читают: два точка три.

Действия над десятичными дробями

1. Сложение (вычитание) десятичных дробей

При сложении (вычитании) десятичных дробей пользуются следующим правилом:

а) уравнивают количество знаков после запятой в обеих дробях (с помощью нулей);

б) записывают дроби друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой;

в) выполняют действие, не обращая внимания на запятую;

г) подставляют в результате запятую под запятыми в данных дробях

Пример : Сложить 5,607 и 4,1

1. Уравниваем количество знаков после запятой в обеих дробях: 5,607 и 4,100

2. Записываем дроби друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой:

+
5,607
4,100

3,4. Выполняем действие, не обращая внимания на запятую: 9,707

2. Умножение десятичных дробей

2.1. Умножение десятичной дроби на натуральное число

При умножении десятичных дробей на натуральное число используют правило

а) умножают дробь на это число, не обращая внимания на запятую;

б) в полученном произведении отделить запятой столько цифр справа, сколько их отделено в данной дроби

Пример : Умножить 8,607 на 5

1. Умножаем дробь на число, не обращая внимания на запятую:

х
8,607
5

43,035 .

2. В полученном произведении отделяем 3 знака справа: 43,035

2.2. Умножение десятичных дробей

а) выполняют умножение, не обращая внимания на запятые;

б) отделяют запятой столько цифр справа, сколько их стоит после запятой в обоих множителях вместе

Пример : Умножить 1,25 на 2,04

1. Записываем дроби друг под другом так, чтобы запятая оказалась под запятой:

х
1,25
2,04

+
500
250 .

2,5500 .

2. В полученном произведении отделяем 4 знака справа: 2,5500

3. Деление десятичных дробей

3.1. Деление десятичной дроби на натуральное число

При делении десятичной дроби на натуральное число запятая ставится в частном, когда заканчивают деление целой части.

Если целая часть меньше делителя, то частное начинается с нуля целых

Пример : Разделить 0,644 на 92

-
0,644 92
0 0,007

-
06
-
64
-
644
644

3.2. Деление десятичной дроби на десятичную дробь

а) в делимом перенести запятую вправо на столько цифр, сколько их после запятой в делителе;

б) после этого выполнить деление на натуральное число

Пример : Разделить 2,808 на 0,12

1. Переносим в числе 2,808 запятую в право на 2 знака, так как у нас в числе 0,12 два знака после запятой, и наша задача сводится к делению 280,8 на 12.


280,8 12

24 23,4

40

36

48

48

Получаем 280,8: 12 = 23,4.

Литература

1. Депман И.Я. История арифметики. М.: Просвещение, 1965. 415 с.

2. Свечников А.А. Путешествие в историю математики или Как люди учились считать: Книга для тех, кто учит и учится. М.: Педагогика-Пресс, 1995. 168 с.

Оценка: 3.1 (голосов: 7)

Комментарии (0)

.., :